函数(shù)存在反函数的(de)充要条件是，函数的定义域与值域是一(yī)一映射的(de)。

　　1、反函数的定义域是(shì)原(yuán)函数的值(zhí)域(yù)，反函数(shù)的(de)值域是原(yuán)函数的定(dìng)义域。

　　2、互为反函数的两个函(hán)数的图像关于(yú)直线y=x对(duì)称。

　　3、原函数若(ruò)是奇函数，则其反函数为(wèi)奇函数。

　　4、若函数是单调函数，则一定有反函数(shù)，且反函数的单调性与(yǔ)原函数的(de)一致。

　　5、原函数与反函数的图像若有交点(diǎn)，则交点一定在直线y=x上(shàng)或关于直(zhí)线y=x对(duì)称(chēng)出现。

反函(hán)数有哪(nǎ)些(xiē)性质

　　性质：

　　（1）函(hán)数f(x)与它的反函数f-1(x)图象关于(yú)直线y=x对称；

　　（2）函数(shù)存在反函数的充要条件是，函数的(de)定义域与值域(yù)是一(yī)一映(yìng)射；

　　（3）一个函(hán)数与它的反函数(shù)在相应区间(jiān)上(shàng)单调性一致；

　　（4）大部分偶(ǒu)函数(shù)不(bù)存在反(fǎn)函数（当函数y=f(x)， 定义域是{0} 且 f(x)=C （其中C是(shì)常数），则函数(shù)f(x)是偶函数(shù)且有反函数，其反函数的(de)定义(yì)域是(shì){C}，值域(yù)为{0} ）。

　　奇函数不一定存在反函数(shù)，被与(yǔ)y轴垂直的直(zhí)线截时能过2个及以(yǐ)上点即(jí)没有(紫菜是不是海鲜yǒu)反(fǎn)函数。

　　腔(qiāng)神若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇(qí)森(sēn)圆穗函数。

　　（5）一段连续的函数的单调性在对(duì)应(yīng)区间内具有(yǒu)一致性；

　　（6）严增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数(shù)；

　　（7）反(fǎn)函数(shù)是(shì)相(xiāng)互的(de)且具有唯一性；

　　（8）定义(yì)域(yù)、值域(yù)相反(fǎn)对应法则互逆(nì)（三反(fǎn)）；

　　（9）反函数(shù)的导数关(guān)系：如(rú)果(guǒ)x=f(y)在开区间I上严格单调(diào)，可导(dǎo)，且f(y)≠0，那么它的(de)反函数y=f-1(x)在区间(jiān)S={x|x=f(y),y∈I }内(nèi)也可(kě)导，且：

　　（10）y=x的反函数是它(tā)本身。

　　扩此卜(bo)展资料：

　　反(fǎn)函数定义：

　　设(shè)函数y=f(x)的定义域是D，值域是f(D)。

　　如(rú)果(guǒ)对于值域f(D)中(zhōng)的(de)每一个y，在D中有且(qiě)只有一个x使得f(x)=y，则按(àn)此对应法则(zé)得到了一个定(dìng)义在(zài)f(D)上的函数。

　　并(bìng)把该函数称(chēng)为函数y=f(x)的反函(hán)数，记(jì)为由该定义(yì)可以很快(kuài)得出函数f的(de)定义(yì)域D和值(zhí)域f(D)恰好就是反(fǎn)函数(shù)f-1的(de)值域和定义域，并且f-1的反函数就是f，也就是说，函数f和f-1互为反(fǎn)函数，即：

　　反函数与原函数的复合函数等于x，即：

　　习惯上我们用x来表示自变量(liàng)，用y来表(biǎo)示因变量，于是函(hán)数y=f(x)的反函数通常(cháng)写成

　　 。

　　例如，函(hán)数  

　　的反函数是  。

　　相对于反函数y=f-1(x)来说(shuō)，原来的函数(shù)y=f(x)称(chēng)为直接函数。

　　反函(hán)数和直接函数的图像关(guān)于(yú)直线y=x对称。

　　这是因(yīn)为(wèi)，如果设(a,b)是y=f(x)的图像(xiàng)上(shàng)任意一(yī)点，即b=f(a)。

　　根据(jù)反函数的定义，有a=f-1(b)，即点(b,a)在(zài)反函数(shù)y=f-1(x)的图像(xiàng)上(shàng)。

　　而点(diǎn)(a,b)和(b,a)关于(yú)直线y=x对称，由(yóu)(a,b)的任意性可知f和f-1关于(yú)y=x对称。

　　于是我们可(kě)以知道(dào)，如(rú)果两个函数的图像(xiàng)关于y=x对(duì)称，那(nà)么这两(liǎng)个函数互为反函数。

　　这也可以看(kàn)做是(shì)反函数的一个几(jǐ)何(hé)定义。

　　在(zài)微积分里，f (n)(x)是用来指f的n次微分的。

　　若一(yī)函(hán)数有反函数，此(cǐ)函(hán)数便(biàn)称为可(kě)逆的(de)（invertible）。

　　参考资料：百(bǎi)度百(bǎi)科---反函数

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